集合元素性质、关系、子集公式、基本运算 —— 一篇文章带你全方面死磕集合

一、原文

在全国高考中，本节主要考查集合的概念、关系、运算等，下面梳理一些常考知识点

1、集合中元素的性质

确定性，互异性，无序性

2、集合间的基本关系

3、子集个数

当 $n$ 个元素的集合的子集有 $2^n$ 个，非空子集有 $2^n - 1$ 个，真子集有 $2^n - 1$ 个，非真空子集有 $2^n - 2(n \geq 1)$ 个

4、集合的基本运算

二、原文深度解析

1、概念

集合（set）简称集，是一个基本的 [数学模型]，指 [若干] [不同] [对象] 形成的总体

其他细节：

1. 集合里的对象称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合
2. 若 $x$ 是集合 $A$ 的元素，记作 $x\in A$
3. 不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合
4. 集合可以包含有限或无限个元素
5. 如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等

2、性质

集合 [元素的性质] 有 [确定性]、[互异性]、[无序性]

互异性常考类型：集合相等

已知 $\{a, \frac{b}{a}, 1\} = \{a^2, a + b, 0\}$，则 $a^{2022} + b^{2023} = \_\_\_\_\_\_\_\_$

对比总结:

• 选取最快的思考方法

  都有两个待定，如果由此进行分类讨论，情况太多，故选择从已知值 $\rightarrow$ 待定元素

• 选择最快的进入点

  如果从 $1$ 开始，无法立即确定 $a^2$ 是 $1$ 还是 $a+b$ 是 $1$，但从 $0$ 开始，即可立即确定 $b=0$

• 务必验证

  求出参数后，务必验证是否满足互异性

3、集合之间的关系

• 空集 $\varnothing$

  1. 空集是什么：

     • 年龄大于 $200$ 岁的活人
     • 大于 $3$ 小于 $2$ 的实数
     • 绝对值等于 $-1$ 的实数

     以上能构成集合，满足集合的性质，但不包含任何元素

  2. 空集的简单考法

     已知集合 $M = \{ x \mid 2m < x < m + 1 \}$，且 $M \in \varnothing$，则实数 $m$ 的取值范围是：$\_\_\_\_\_\_\_\_$

• 子集

  如果 [集合 $A$] 中任意一个元素都属于 [集合 $B$] ，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集

  名称	解释	举例
  集合…集合	子集的概念是集合与集合之间	元素不能是一个集合的子集

  

三、子集个数公式证明

证明：若集合 $A$ 含有 $n$ 个元素，则 $A$ 的子集总个数为 $f(n)=2^n$

参考视频如下

证法 1（分类法和递推公式）

第一步：当集合 $A = \varnothing$ 时，其子集只有空集，$f(0)=2^0=1$，显然公式成立

第二步：当集合 $A \ne \varnothing$ 时，设集合 $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ 含有 $n$ 个元素

则集合 $A$ 的子集可分为两类

第一类共有 $n-1$ 个元素，所以共有 $f(n-1)$ 种子集

第二类可看作第一类每个子集都添加一个元素 $a_1$而成，所以第二类子集个数为 $f(n-1)$

又由于总子集个数 = 第一类 + 第二类，即

$f(n) = f(n-1) + f(n-1) = 2f(n-1)$

重复应用上述递推公式可得

$f(n) = 2f(n-1) = 2^2f(n-2) = 2^3f(n-3) = \dots = 2^nf(0) = 2^n \cdot 1 = 2^n$

证毕！

证法 2（乘法计数原理）

对于集合 $A$ 中任意子集 $B$，那么集合 $A$ 中元素 $a_i$ 要么 $a_i \in B$ 要么 $a_i \notin B$

根据分步乘法计数原理，从 $a_1$ 到 $a_i$ 考虑 $n$ 步，每一步都有 $2$ 种可能的情况，故 $A$ 的子集有 $2^n$ 个

证法 3（数学归纳法）

第一步：当 $n=0,1$ 时，$f(0)=1,f(1)=2$ 显然公式成立

第二步：假设当 $n=k$ 时公式成立，$f(k)=2^k$

则当 $n=k+1$ 时，可设 $A = \{a_1, a_2, \dots, a_k, a_{k+1}\}$

此时 $A$ 的子集可分为两类

则 $f(k+1)=2f(k)=2^{k+1}$

所以当 $n=k+1$ 时，公式成立

最后根据数学归纳法原理可证得公式对于一切非负整数 $n$ 都成立

故证毕！

证法 4（组合数和二项式定理）

二项式定理：$(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n - 1} b^1 + \ldots + C_n^n a^0 b^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k a^{n - k} b^k$

当 $a = b = 1$ 时，等式变为：$(1 + 1)^n = 2^n = C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n$

组合数：从 $n$ 个不同元素中，不管顺序抽出 $m$ 个不同元素，其中组合种数称为组合数：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n - m)!}$

首先，设集合 $A$ 的元素个数为 $n$，其子集的组成元素个数为 $k$。

• 当 $k = 0$ 时：$\varnothing \longrightarrow C_n^0$
• 当 $k = 1$ 时：$\{a_1\}, \{a_2\}, \ldots, \{a_n\} \longrightarrow C_n^1$
• 当 $k = 2$ 时：$\{a_1, a_2\}, \{a_1, a_3\}, \{a_1, a_4\}, \ldots \longrightarrow C_n^2$
• $\ldots$
• 当 $k = n$ 时：$\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\} \longrightarrow C_n^n$

集合 $A$ 的子集总个数为：$C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = \sum_{k = 0}^n C_n^k = 2^n$

证毕！

四、补充

1、常见数集

2、集合的表示方法

1. 列举法

   举例	表示
   大于 $1$ 小于 $5$ 的整数构成的集合	$A = \{2,3,4\}$
   绝对值小于 $3$ 的整数构成的集合	$A=\{0,-1,-2,,1,2\}$
   所有偶数构成的集合	$A=\{2,4,6,8,\ldots\}$
   第一象限所有的点构成的集合	无法列举

2. 描述法

   举例	表示
   大于 $1$ 小于 $5$ 的整数构成的集合	$A = \{x \mid 1 < x < 5, x \in \mathbb{Z}\}$ 或 $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 < x < 5\}$
   绝对值小于 $3$ 的整数构成的集合	$A=\{x \mid \lvert x \rvert < 3, x \in \mathbb{Z}\}$
   所有偶数构成的集合	$A=\{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}\}$
   第一象限所有的点构成的集合	$A=\{x \mid x = (x, y), x > 0, y > 0, x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\}$