R 语言中的数学函数

取整函数

R 提供了几个用于对小数进行取整的函数，这些函数包括 round 、 ceiling 、 floor 、 trunc 和 signif 函数

round 函数

R 中最常见的取整函数就是 round 函数。它会把小数进行四舍五入为最接近的整数，如果小数部分等于 0.5，则取离它最近的偶数。

x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
round(x)

# 输出 2  4  6  9 -2 -8 -11

这种取整方法称作半偶数舍入（Round Half to Even），也称为“银行家舍入”或“四舍、六入、五留双”

比如十进制：

0.5 --> 0
1.5 --> 2
2.5 --> 2
3.5 --> 4

这种半偶数舍入的方法采用的是一种统计学上更为合理的取整方式，能够减少累积误差

对比四舍五入和半偶数舍入的区别：

取总和分别为：10.5、12、10

可看出半偶数舍入将一半向下舍入（前一个数字为偶数），一半向上舍入（前一个数字为奇数）来保持总和更稳定，因此舍入的效果大致抵消

但是此函数主要用例是使用名为 digits 的参数将值取整到特定的小数位数，比如取整小数点后两位：round(x, digits = 2) 或者 round(x, 2)

x <- c(2.153, 4.557, 5.665, 9.1255)
round(x, 2)

# 输出 2.15 4.56 5.66 9.13

可能你会疑问为什么 9.1255 为什么取整后是 9.13 而不是 9.12？这是因为刚才上文提到：它会把小数进行四舍五入为最接近的整数，如果小数部分等于 0.5，则取离它最近的偶数。

所以当我们用 round(9.1255, 2) 时，如果舍入位恰好等于 0.5（即后面全是 0），则才会取离它最近的偶数，即才会触发银行家舍入

而当前的舍入位是 0.0055，大于 0.005，因此会直接四舍五入到 9.13

请注意，如果 digits 参数为负数，则会将数字舍入到小数点左侧的位数

x <- c(2, 4.5, 5, 5.1, 10, 15, -10.5, -10.51)
round(x, digits = -1)

# 输出 0   0   0  10  10  20 -10 -10

当 digits = -1 时，round() 把数值“按 10 位”取整，也就是保留到十位（个位及以下的数字全部变为 0）。
负号只表示方向，不影响舍入规则本身；规则仍然是：

• 先看真正要被舍掉的那一位（个位）上的数字
• 如果是 0–4 → 向下舍
• 如果是 6–9 → 向上入
• 如果恰好是 5 且后面全是 0 → “五留双”（取离它最近的偶数十位）

逐项验证：

当 digits = -k 时，把数值按 $10^k$ 位取整即可。

同理如下：

round(15,-1) # 20
round(15,-2) # 0
round(55,-2) # 100

floor 和 ceiling 函数

floor 函数用于向下取整，即返回小于或等于给定值的最大整数。它不会进行四舍五入，而是直接向下取整到最接近的整数。

x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
floor(x)

# 输出 2   4   5   9  -2  -9 -11

floor 的反函数是 ceiling ，它将值向上舍入为不小于该值本身的最小整数。

x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
ceiling(x)

# 输出 2   5   6  10  -1  -8 -10

这两个函数与 round(x) 的半偶数舍入不同，它们没有“四舍六入五留双”的逻辑，而是无条件地向下或向上取整。

它们的优势主要体现在业务语义简单、可预测、易实现。比如某些运营商不足一分钟按一分钟收费

满足“绝不超发/绝不缺额”这类硬性业务约束，代价是单次和长期都可能出现系统性偏差。

trunc 函数

trunc 函数用于截断小数部分，直接返回整数部分。它不会进行四舍五入，而是简单地去掉小数部分。

x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
trunc(x)

# 输出 2   4   5   9  -1  -8 -10

trunc（truncate，截断）的核心优势只有一句话：速度最快、规则最简单、结果绝对可预测，且天然满足“只保留整数部分，绝不引入额外偏移”的需求。

signif 函数

signif 函数用于将值舍入到指定的有效数字位数（默认为 6 位）。

x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
signif(x)

# 输出 2.0000   4.5000   5.6534   9.1800  -1.5000  -8.3500 -10.7800

此函数还允许您使用 digits 参数指定所需的有效数字数。

x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
signif(x, digits = 3)

# 输出 2.00   4.50   5.65   9.18  -1.50  -8.35 -10.80

至于这里你可能会疑惑 signif(2) 为什么显示的是 2.0000 而不是 2.00000。以及 signif(-10.78) 为什么显示的是 -10.80 而不是 -10.8。

这是因为打印规则和计算规则不是一套东西，signif() 计算时的确会保留 6 位有效数字，但打印时会根据实际情况进行格式化。

最值函数

R 中最值函数有 max、min、pmax、pmin。

max 和 min 函数

max 和 min 将分别返回单个向量的最大值和最小值，它只返回一个值。

x <- c(45, 12, 12, 15, 61, 56)
max(x)
min(x)

# 输出：61 12

但是，如果向量包含缺失值（ NA ），则该函数将返回 NA 。

x <- c(45, 12, 12, NA, 15, 61, 56)
max(x)

# 输出：NA

如果您想避免这种情况，可以将函数的 na.rm 参数设置为 TRUE ，这样在获取最大值之前就会删除缺失值。

x <- c(45, 12, 12, NA, 15, 61, 56)
max(x, na.rm = TRUE)

# 输出：61

pmax 和 pmin 函数

pmax 和 pmin 函数用于计算多个向量的逐元素最大值和最小值。它们可以接受多个向量作为参数，并返回一个新的向量，其中每个元素是对应位置上所有输入向量的最大值或最小值。

x1 <- c(45, 12, 12, 15, 61, 56)
x2 <- c(15, 35, 81, 23, 45, 24)
x3 <- c(52, 12, 41, 35, 17, 16)

pmax(x1, x2, x3)

# 输出：52 35 81 35 61 56

返回的第一个值是 52，因为它是 45、15 和 52 之间的最大值；返回的第二个值是 35，因为它是 12、35 和 12 之间的最大值，以此类推。

如果向量的长度不一致，pmax 和 pmin 函数会自动将短向量扩展到与最长向量的长度一致。

x1 <- c(45, 12, 12, 15, 30, 56)
x2 <- c(15, 35, 81)
x3 <- c(52, 12)

pmax(x1, x2, x3)

# 输出：52 35 81 15 52 81

扩展的方式是循环补齐

x2 补齐后：15 35 81 15 35 81

x3 补齐后：52 12 52 12 52 12

最后输出的 81 是在 12、81、52 中最大的值；35 是在 15、15、12 中的最大值；52 是在 30、35、52 中的最大值...

这种“循环补齐 + 逐元素比较”的设计，优势可以一句话概括为：用最少的代码，让不同长度、成组比较的向量运算既简洁又符合向量化思维，同时保持与 R 其它运算一致的回收（recycling）语义。

平方根

一个数的平方根是指一个数乘以自身等于该数的数。例如，4 的平方根是 2，因为 $2 * 2 = 4$

sqrt 函数

在 R 中，sqrt 函数用于计算一个数的平方根。例如：

sqrt(4)

# 输出 2

同时，还可以输入数字向量，因此该函数将返回该向量每个元素的平方根。

sqrt(c(1, 4, 9))

# 输出 1 2 3

如果想计算 N 次方根，可以使用 ^ 运算符来手动计算，比如 8 的三次根：

8^(1/3)

# 输出 2

指数和对数

可以利用 R 提供的函数来计算对数和指数： log 函数用于计算自然对数，而 exp 函数用于计算指数。

log 函数

log 函数用于计算自然对数，exp(1) 返回 e 的值（约等于 2.71828），log(x) 默认返回 x 的自然对数。

log(1) # 输出 0
log(exp(1)) # 输出 1

同时可以自定义底数，例如：

log(9, 3) # 输出 9 的 3 的对数
log(8, 2) # 输出 8 的 2 的对数

# 输出 2 3

exp 函数

exp 函数用于计算 e 的幂次方，exp(x) 返回 e 的 x 次方。

exp(10)
exp(0)
exp(-5)
exp(4)

# 输出 22026.47 1 0.006737947 54.59815

plot 绘图函数

plot 函数可以用来绘制函数图像，下面是绘制自然对数的 log 和 exp 函数的示例：

plot(log, 0, 1, col = 4, main = "log(x)")
plot(exp, -10, 10, col = 4, main = "exp(x)")

三角函数

R 提供了几个计算三角函数的函数，例如 cos()、sin()、tan()、acos()、asin() 和 atan() 函数，用于计算正弦、余弦、正切、反余弦、反正弦和反正切。

cos、sin 和 tan 函数

cos(pi/3) # 输出 0.5
sin(pi/6) # 输出 0.5
tan(pi/4) # 输出 1

可以使用 plot 函数绘制这些函数的图像：

plot(cos, 0, 2 * pi, col = 4, main = "cos(x)")
plot(sin, 0, 2 * pi, col = 4, main = "sin(x)")
plot(tan, -2 * pi, 2 * pi, col = 4, main = "tan(x)")

反三角函数

acos(0.5) # 输出 1.0472
asin(0.5) # 输出 0.5236
atan(1) # 输出 0.7854

可以使用 plot 函数绘制这些函数的图像：

plot(acos, -1, 1, col = 4, main = "acos(x)")
plot(asin, -1, 1, col = 4, main = "asin(x)")
plot(atan, -10, 10, col = 4, main = "atan(x)")

矩阵运算

R 中可以执行多种矩阵运算，包括：加法、减法、乘法、计算幂、秩、行列式、对角线、特征值和特征向量、转置以及使用不同方法分解矩阵

由于篇幅太长，请期待下一篇文章